ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № MS-04.
ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ. СРАВНЕНИЕ ВЫБОРОЧНЫХ СРЕДНИХ

Задание 1: Проверка гипотезы о равенстве генеральных средних по независимым выборкам
При изучении уровня физического развития студентов 1-го курса было проведено измерение их роста. Результаты измерения представлены в файле ms04.xls на вкладке "Рост". Скачайте файл и сохраните под именем "ms21-[№ варианта]-[ФИО].xls"
На основании этих данных, используя t-критерий Стъюдента, проверьте гипотезу о равенстве роста юношей и девушек (равенстве генеральных средних).

Из условия задачи понятно, что выборки являются независимыми.

Для проверки гипотезы о равенстве математических ожиданий (генеральных средних) вначале необходимо проверить гипотезу о равенстве генеральных дисперсий.

Проверка гипотезы о равенстве генеральных дисперсий

Проверка гипотезы о равенстве дисперсий проходит в несколько этапов.
1. Формулируем нулевую гипотезу H0:
Генеральные дисперсии равны: H0: D(X)=D(Y); их видимое различие объясняется влиянием случайных факторов.
2. В качестве альтернативной гипотезы H1 выберем:
Выборочные дисперсии не равны H1: D(X)<>D(Y).
3. Выбираем уровень значимости a (альфа)
В данном случае вполне достаточен уровень значимости a=0,05.
4. Выбираем критерий
Нулевую гипотезу будем проверять по критерию Фишера.
5. Определяем критическую область
При использовании критерия Фишера критическая область всегда односторонняя.
6. Вычисляем эмпирическое значение критерия Фишера или Р-значение
Используем функцию =ФТЕСТ(), возвращающую Р-значение критерия Фишера:

• Используя Мастер функций, выберите функцию ФТЕСТ из раздела "Статистические".
• Заполните поля аргументов: в аргумент Массив1 введите адрес области с данными первой выборки, в аргумент Массив2 - адрес области с данными второй выборки (см. рис).

• Нажмите кнопку ОК.В ячейке окажется значение 0,207907667375027.

7. Интерпретация результатов
Функция =ФТЕСТ() возвращает Р-значение критерия Фишера - значение для двусторонней критической области. Поскольку при проверке гипотезы о равенстве дисперсий по критерию Фишера критическая область должна быть односторонней, полученное Р-значение нужно разделить на 2. Получим:

Р/2=0,103953833687513

Этот результат означает, что нулевую гипотезу о равенстве выборочных дисперсий можно принять на уровне значимости 0,103953833687513 и более высоких уровнях, т.е. при a меньше 0,103953833687513.
Т.к. выбранное нами значение a=0,05 меньше, чем Р/2=0,103953833687513 , то нулевую гипотезу нет оснований отвергнуть.
8. Вывод
На выбранном нами уровне значимости 0,05 принимаем нулевую гипотезу. Дисперсии выборок следует считать одинаковыми, а их видимое различие относим за счет влияния случайных факторов.
Вывод в MS Excel будем получать при помощи функции =ЕСЛИ(). При a меньшем P/2 нужно выводить D(X)=D(Y), иначе, D(X)<>D(Y).

Проверка гипотеры о равенстве генеральных средних

Способ I.
Проверка гипотезы о равенстве средних проходит в несколько этапов.
1. Формулируем нулевую гипотезу H0:
Генеральные средние равны H0: M(X)=M(Y); их видимое различие объясняется влиянием случайных факторо3.
2. В качестве альтернативной гипотезы H1 выберем:
Выборочные дисперсии не равны H1: M(X)<>M(Y).
3. Выбираем уровень значимости a (альфа)
В данном случае вполне достаточен уровень значимости a=0,05.
4. Выбираем критерий
Нулевую гипотезу будем проверять по критерию Стъюдента. Выберем один из трех вариантов t-критерия Стъюдента:

• парный тест (для зависимых выборок);
• двухвыборочный t-тест для выборок с равными дисперсиями (гомоскедастический);
• двухвыборочный t-тест для выборок с различными дисперсиями (гетероскедастический).

Поскольку в данном случае выборки независимы, парный тест неприменим. Для определения нужного варианта двухвыборочного теста нужно знать, одинаковы или различны их дисперсии. Поэтому сначала нужно было проверить гипотезу о равенстве генеральных дисперсий. В данном случае дисперсии считаем одинаковыми. Мы должны использовать двухвыборочный t-тест для выборок с равными дисперсиями.
5. Определяем критическую область
При выбранной альтернативной гипотезе H1 критическая область - двусторонняя.
6. Вычисляем эмпирическое значение t-критерия Стъюдента или его Р-значение
Используем функцию =ТТЕСТ(), возвращающую Р-значение критерия Стъюдента:

• Используя Мастер функций, выберите функцию ТТЕСТ из раздела "Статистические".
• Заполните поля аргументов:

-в аргумент Массив1 введите адрес области с данными первой выборки;
-в аргумент Массив2 введите адрес области с данными второй выборки;
-в аргумент Хвосты введите 1 для односторонней критической области или 2 - для двусторонней;
-аргумент Тип может принимать три значения: 1 - для парного теста (зависимые выборки), 2 - для двухвыборочного теста с равными дисперсиями, 3 - для двухвыборочного теста с неравными дисперсиями:

• Нажмите кнопку ОК.В ячейке окажется значение 2,1888587E-10.

7. Интерпретация результатов
Функция=ТТЕСТ() вернула значение Р=2,1888587E-10. Этот результат означает, что нулевую гипотезу о равенстве выборочных средних можно принять на уровне значимости 2,1888587E-10 и более высоких уровнях, т.е. при a меньше 2,1888587E-10.
Т.к. выбранное нами значение a=0,05 больше, чем Р=2,1888587E-10, то нулевую гипотезу нужно отвергнуть.
8. Вывод
На выбранном нами уровне значимости 0,05 отвергаем нулевую гипотезу. Генеральные средние следует считать различными.
В MS Excel вывод вновь осуществить при помощи функции =ЕСЛИ()

Способ II.
Зачастую для проверки гипотез о равенстве средних бывает удобнее использовать надстройку “Анализ данных”. При этом изменяются только 6-й и 7-й пункты в процедуре проверки гипотезы о равенстве средних. Покажем, как это делается.
6. Вычисляем эмпирическое значение t-критерия Стъюдента или его Р-значение
В надстройке “Анализ данных” выберите инструмент “Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями”. Заполните поля, как это указано ниже:

В поле Альфа введите выбранный уровень значимости (в данном случае 0,05). Щелкните на кнопке ОК. На экране, начиная с указанного Вами адреса (параметр "Выходной интервал"), будет выведена следующая таблица:

7. Интерпретация результатов
Модуль эмпирического значения t-статистики (строка "t-статистика на рисунке) равен 7,396536844. Это значение нужно сравнить с критическим t_cr (строка "t критическое двустороннее" на рисунке), которое равно 1,993944352. Если t больше, чем t_cr, то нулевая гипотеза отвергается, если меньше - принимается.
В данном случе эмпирическое значение критерия Стъюдента больше критического, поэтому нулевая гипотеза отвергается. Обратите внимание на Р-значение (строка "P(T<=t) двухстороннее").
Вывести результат при помощи функции =ЕСЛИ(). Модуль числа можно определить при помощи функции ABS() от соответствующей ячейки.

Задание 2: Проверка гипотезы о равенстве генеральных средних для выборок с попарно связанными вариантами
На основании данных эксперимента, приведенных на вкладке “Овес-Ячмень” того же файла ms04.xls проверьте гипотезу о равенстве урожфйностей овса и ячменя.

1. Перейдите на вкладку “Овес-Ячмень”.

Подсказка: представленные выборки являются зависимыми.

1. Сформулируйте и запишите нулевую и альтернативную гипотезы.
2. Произведите вычисления с помощью инструмента "Парный двухвыборочный t-тест для средних”.

Подсказка: должны получиться следующие результаты:

• t-статистика равна 1,838
• t критическое двухстороннее равно 2,447

Сделайте выводы о том, нужно ли отвергать нулевую гипотезу в пользу альтернативной гипотезы о неравенстве урожайностей.


Задание 3.
Перейдите на вкладку “Lands”. Проверьте гипотезы в соответствии с вариантом ниже. Сформулируйте и запишите нулевую и альтернативную гипотезы для каждого случая. Определите характер критической области в каждом случае: одно- или двусторонняя.

В-1.
Для мусульманских и католических стран:

• о равенстве количества рождающихся детей на 1000 человек;
• о равенстве числа случаев заболевания СПИДом;
• о равенстве калорийности питания;
• о равенстве средней продолжительности жизни мужчин;
• о равенстве средней продолжительности жизни женщин;
• о равенстве детской смертности.

В-2.
Для мусульманских и католических стран:

• о равенстве прироста населения;
• о равенстве плотности населения;
• о равенстве процента городского населения;
• о равенстве процента умеющих читать;
• о равенстве численности населения;
• о равенстве смертей на 1000 человек.

В-3.
Для ортодоксальных и протестантских стран:

• о равенстве количества рождающихся детей на 1000 человек;
• о равенстве числа случаев заболевания СПИДом;
• о равенстве калорийности питания;
• о равенстве средней продолжительности жизни мужчин;
• о равенстве средней продолжительности жизни женщин;
• о равенстве детской смертности.

В-4.
Для ортодоксальных и протестантских стран:

• о равенстве прироста населения;
• о равенстве плотности населения;
• о равенстве процента городского населения;
• о равенстве процента умеющих читать;
• о равенстве численности населения;
• о равенстве смертей на 1000 человек.

В-5.
Для буддистских и анимистичных стран:

• о равенстве количества рождающихся детей на 1000 человек;
• о равенстве числа случаев заболевания СПИДом;
• о равенстве калорийности питания;
• о равенстве средней продолжительности жизни мужчин;
• о равенстве средней продолжительности жизни женщин;
• о равенстве детской смертности.

В-6.
Для буддистских и анимистичных стран:

• о равенстве прироста населения;
• о равенстве плотности населения;
• о равенстве процента городского населения;
• о равенстве процента умеющих читать;
• о равенстве численности населения;
• о равенстве смертей на 1000 человек.

В-7.
Для мусульманских и ортодоксальных стран:

• о равенстве количества рождающихся детей на 1000 человек;
• о равенстве числа случаев заболевания СПИДом;
• о равенстве калорийности питания;
• о равенстве средней продолжительности жизни мужчин;
• о равенстве средней продолжительности жизни женщин;
• о равенстве детской смертности.

В-8.
Для мусульманских и ортодоксальных стран:

• о равенстве прироста населения;
• о равенстве плотности населения;
• о равенстве процента городского населения;
• о равенстве процента умеющих читать;
• о равенстве численности населения;
• о равенстве смертей на 1000 человек.

В-9.
Для мусульманских и протестантских стран:

• о равенстве количества рождающихся детей на 1000 человек;
• о равенстве числа случаев заболевания СПИДом;
• о равенстве калорийности питания;
• о равенстве средней продолжительности жизни мужчин;
• о равенстве средней продолжительности жизни женщин;
• о равенстве детской смертности.

В-10.
Для мусульманских и протестантских стран:

• о равенстве прироста населения;
• о равенстве плотности населения;
• о равенстве процента городского населения;
• о равенстве процента умеющих читать;
• о равенстве численности населения;
• о равенстве смертей на 1000 человек.

В-11.
Для мусульманских и буддистских стран:

• о равенстве количества рождающихся детей на 1000 человек;
• о равенстве числа случаев заболевания СПИДом;
• о равенстве калорийности питания;
• о равенстве средней продолжительности жизни мужчин;
• о равенстве средней продолжительности жизни женщин;
• о равенстве детской смертности.

В-12.
Для мусульманских и буддистских стран:

• о равенстве прироста населения;
• о равенстве плотности населения;
• о равенстве процента городского населения;
• о равенстве процента умеющих читать;
• о равенстве численности населения;
• о равенстве смертей на 1000 человек.

В-13.
Для ортодоксальных и католических стран:

• о равенстве количества рождающихся детей на 1000 человек;
• о равенстве числа случаев заболевания СПИДом;
• о равенстве калорийности питания;
• о равенстве средней продолжительности жизни мужчин;
• о равенстве средней продолжительности жизни женщин;
• о равенстве детской смертности.

В-14.
Для ортодоксальных и католических стран:

• о равенстве прироста населения;
• о равенстве плотности населения;
• о равенстве процента городского населения;
• о равенстве процента умеющих читать;
• о равенстве численности населения;
• о равенстве смертей на 1000 человек.

В-15.
Для протестантских и католических стран:

• о равенстве количества рождающихся детей на 1000 человек;
• о равенстве числа случаев заболевания СПИДом;
• о равенстве калорийности питания;
• о равенстве средней продолжительности жизни мужчин;
• о равенстве средней продолжительности жизни женщин;
• о равенстве детской смертности.

В-16.
Для протестантских и католических стран:

• о равенстве прироста населения;
• о равенстве плотности населения;
• о равенстве процента городского населения;
• о равенстве процента умеющих читать;
• о равенстве численности населения;
• о равенстве смертей на 1000 человек.

В-17.
Для ортодоксальных и буддистских стран:

• о равенстве количества рождающихся детей на 1000 человек;
• о равенстве числа случаев заболевания СПИДом;
• о равенстве калорийности питания;
• о равенстве средней продолжительности жизни мужчин;
• о равенстве средней продолжительности жизни женщин;
• о равенстве детской смертности.

В-18.
Для ортодоксальных и буддистских стран:

• о равенстве прироста населения;
• о равенстве плотности населения;
• о равенстве процента городского населения;
• о равенстве процента умеющих читать;
• о равенстве численности населения;
• о равенстве смертей на 1000 человек.

В-19.
Для протестантских и буддистских стран:

• о равенстве количества рождающихся детей на 1000 человек;
• о равенстве числа случаев заболевания СПИДом;
• о равенстве калорийности питания;
• о равенстве средней продолжительности жизни мужчин;
• о равенстве средней продолжительности жизни женщин;
• о равенстве детской смертности.

В-20.
Для протестантских и буддистских стран:

• о равенстве прироста населения;
• о равенстве плотности населения;
• о равенстве процента городского населения;
• о равенстве процента умеющих читать;
• о равенстве численности населения;
• о равенстве смертей на 1000 человек.